معادله ضریب همبستگی

پایان نامه ارشد با موضوع رگرسیون، ضریب همبستگی، ضریب تعیین، معنادار بودن

كه در آن:
SSE: تغييرات جمله خطا كه توسط رگرسيون توضيح داده نمي‌شود.
SST: كل تغييرات در مقدار متغير وابسته
با اين حال اغلب ترجيح داده مي‌شود كه از مقياس ديگري به نام ضريب تعيين تعدیل شده68 براي بررسي نيكويي برازش69 مدل رگرسيون چند متغيره استفاده كنند. اين ضريب همان ضريب تعيين است كه در آن مقادير SST و SSE با درجات آزاديشان تعديل گرديده‌اند. اين ضريب در رگرسيون چند متغيره به معادله ضریب همبستگی صورت زير محاسبه مي‌شود (آذر و مومني، 1381):
كه در آن n تعداد مشاهدات و k تعداد متغيرهاي مستقل است. در واقع هدف از به كارگيري تسهيل در مقايسه نيكويي برازش چندين معادله رگرسيون است كه از نظر تعداد متغيرهاي مستقل متفاوتند.
3-10-4- آزمون معنادار بودن R
ضریب همبستگی با توجه به نمونهای مشخص، محاسبه میشود. بدیهی است که این ضریب که بعضی مواقع ضریب همبستگی نمونهای خوانده میشود، از نمونهای به نمونه دیگر تغییر مییابد. حال سؤال اینجاست که آیا بین دو متغیر معادله ضریب همبستگی Xو Yکه ضریب همبستگی آن را تعیین کردهایم همبستگی معناداری وجود دارد یا نه؟ بهعبارت دیگر، آیا میتوان به وجود یک رابطه علت و معلولی خطی اذعان داشت معادله ضریب همبستگی و یا همبستگی بهدستآمده ناشی از شانس و تصادف بوده و ضریب همبستگی جامعه (ρ) برابر صفر است (آذر و مؤمنی، 1385).
بهمنظور استنباط در خصوص ضریب همبستگی جامعه (ρ) ناچار به قبول فرضیههایی در مورد توزیع مشاهدات میباشیم. آماره مناسب برای آزمون در خصوص صفر بودن ضریب همبستگی جامعه به صورت زیر میباشد که دارای توزیع t با درجه آزادی n-2 میباشد (آذر و مؤمنی، 1385).
آماره آزمون = ضريب همبستگي جامعه.
r = ضريب همبستگي نمونه.
=N حجم نمونه
اما با توجه به اينكه در نرمافزار Eviews معناداري ضريب همبستگي بهوسيله مقدارprob مشخص شده است، لذا نيازمند انجام اين آزمون نميباشيم و تنها با بررسي شرط زير، معنيداري ضريب همبستگي را بررسي ميكنيم:
در صورتي كه مقدار prob كوچكتر يا مساوي سطح معنيدار (مثلاً 05/0) باشد، فرض صفر رد و همبستگي تأييد ميشود و درغير اين صورت فرض مقابل رد ميگردد (05/0> prob در نتيجه ضريب همبستگي معنادار ميباشد). 3-10-5- آزمون معنادار بودن معادله رگرسیون
در یک معادله رگرسیون چندگانه، چنانچه هیچگونه رابطهای میان متغیر وابسته و متغیرهای مستقل وجود نداشته باشد، میبایست تمامی ضرایب متغیرهای مستقل در معادله، مساوی صفر باشند. بدین ترتیب ما میتوانیم معنادار بودن معادله رگرسیون را آزمون کنیم. که با استفاده از آماره F با فرضهای زیر صورت میگیرد:
معادله رگرسیون معنادار نیست H0: β1 = β2 = . . . = βK = 0
معادله رگرسیون معنادار است K و . . . و2و1 i = ؛ H1: βi ≠ 0
چنانچه در سطح اطمینان 95% (خطا 5%α=) آماره Fمحاسبه شده از معادله رگرسیون کوچکتر از مقدار F بدست آمده از جدول باشد. فرض معادله ضریب همبستگی H0را نمیتوان را کرد و در غیر این صورت H0 رد میشود. واضح است که در صورت رد شدن H0 معادله رگرسیون معنادار خواهد بود. 3-10-6- آزمون معنادار بودن ضرایب ]]>

سنجش و اندازه گیری

مبانی، روش ها و تکنیک های سنجش واندازه گیری، پژوهش، مدلبندی و تحلیل داده‏های روانشناسی و علوم وابسته

ضریب همبستگی دورشته ای نقطه ای

به نام خداوند بخشنده مهربان

ضریب همبستگی دورشته ای نقطه ای:

زمانی که می خواهیم ضریب همبستگی دو متغیر رابدست آوریم که یکی از آنها متغیر پیوسته ودیگری دو ارزشی باشد ازضریب همبستگی دو رشته ای نقطه ای استفاده می کنیم.منظور از دو ارزشی آن است که تنها یکی از دو مقدار صفر یا یک را شامل شود مانند:بله-نه ؛زن-مرد، برای انجام محاسبات به یکی از نمرات 1 وبه دیگری نمره 0(صفر) داده می شود.فرمول محاسبه ی ضریب همبستگی دو رشته ای به شرح زیر است:

p=میانگین نمرات متغیر پیوسته برای همه آزمون شوندگانی که در آزمون دو ارزشی نمره 1 گرفته اند.

t=میانگین نمرات برای همه آزمون شوندگان در متغیر پیوسته

t=انحراف معیار همه نمرات در متغیر پیوسته

P=نسبت همه ی آزمون شوندگانی که در متغیر دو ارزشی نمره1 گرفته اند.

q=نسبت آزمون شوندگانی که در آزمون دو ارزشی نمره 0 گرفته اند.

برای استفاده از فرمول بالا،داده های جدول زیر را مورد استفاده قرار می دهیم.داده های این جدول این گونه بدست آمده است که پژوهشگری فرض کرده است تعداد برگ های جریمه ای که یک راننده دریافت می کند از روی عملکرد او در نخستین آزمایش آیین نامه رانندگی که به صورت قبول (1) یا رد(0) نمره گذاری می شود قابل پیش بینی است.

شرح تابع PEARSON

تابعPEARSON مقدار ضریب همبستگی بین دو مجموعه از داده را بر اساس فرمول پیرسون محاسبه می کند. نوشتار این تابع به صورت زیر است:

=PEARSON( مجموعه داده دوم , مجموعه داده اول)

ورودی های این تابع به شرح زیر هستند

مجموعه داده اول : مجموعه ای از داده های مربوط به متغیر مستقل است

مجموعه داده اول : مجموعه ای از داده های مربوط به متغیر وابسته است

آنچه که تابع باز می گرداند

تابع PEARSON یک مقدار که ظریب همبستگی بین دو مجموعه داده است را باز می گرداند.

نکات

• توجه داشته باشید که این فرمول از مقادیر منطقی و متنی چشم پوشی می کند
• این تابع مشابه تابع Correl در اکسل است، تفاوت آنها این است که تابع Correl جدیدتر بوده و دقت بیشتری دارد.
• فرمول ضریب همسبتگی که به فرمول ضریب همسبتگی پیرسون معروف بوده و مقدار همبستگی خطی را اندازه گیری می کند به صورت زیر است:

برای دانلود مجموعه کامل راهنمای توابع به همراه فایل های مثال در اکسل به لینک کتاب «راهنما و مثال های توابع مایکروسافت اکسل» رجوع شود.

مثال های تابع PEARSON

مثال ۱

در زیر ضریب همبستگی دو مجموعه از داده محاسبه شده است. هچنین نمودار پراکندگی این دو مجموعه نسبت نمایش داده شده است و همانطور که مشاهده می شود، این دو وابستگی خطی دارند

برای یادگیری نرم افزار اکسل به صورت کاربردی به دوره «آموزشی اکسل کاربردی» رجوع شود.

برای یادگیری برنامه نویسی به زبان VBA به دوره «آموزش VBA در اکسل» مراجعه نمایید.

خطاهای معمول

#NA : در صورتی مجموعه های داده دارای اندازه های برابر نباشند این خطا رخ خواهد داد.

#DIV/0! : در صورتی که مجموعه داده های تعبیه شده خالی باشند یا استاندارد انحراف مقادیر آنها صفر باشد این خطا رخ خواهد داد.

تحلیل همبستگی پیرسون و همبستگی اسپیرمن در SPSS

تحلیل همبستگی پیرسون و همبستگی اسپیرمن از پرکاربردترین و ساده‌ترین تحلیل‌ها در SPSS هستند. برای آشنایی بیشتر پژوهشگران و اشاره به جزئیات غالباً ناگفته درباره این آزمون، در این بخش این دو تحلیل را به شما معرفی خواهیم کرد.

گاهی اوقات پژوهشگری علاقه دارد بداند که چه رابطه‌ای بین دو متغیر وجود دارد. برای مثال آیا بین میزان بارش در ۱۰ نقطه با میزان رشد گیاهان در این ۱۰ نقطه رابطه‌ای وجود دارد یا خیر. یا اینکه آیا بین میزان افسردگی افراد با میزان عزت نفس فرد رابطه‌ای وجود دارد یا نه. برای این منظور می‌توان از آزمون‌های همبستگی استفاده کرد. آزمون‌های همبستگی به دو دسته کلی پارامتریک (تحلیل همبستگی پیرسون) و ناپارامتریک (تحلیل همبستگی اسپیرمن) تقسیم می‌شوند. البته چند تحلیل همبستگی ناپارامتریک دیگر نیز وجود دارد که به دلیل کاربرد کم در اینجا توضیحی درباره آن‌ها ارائه نخواهد شد.

تفاوت تحلیل همبستگی پیرسون و همبستگی اسپیرمن

برای بررسی همبستگی باید حداقل دو متغیر داشته باشید. اگر داده‌های شما در سطح فاصله‌ای یا نسبی باشند مانند نمره افسردگی، شادکامی، سن، قد، میزان پرش یک ورزشکار و … از تحلیل همبستگی پیرسون استفاده خواهد شد. همچنین اگر داده‌های شما به صورت رتبه‌ای باشند مانند تحصیلات، سال ورود به دانشگاه، مرتبه شغلی و … از تحلیل همبستگی اسپیرمن استفاده خواهد شد.

نکته مهم: برخی از متغیرها را می‌توان هم به صورت فاصله‌ای یا نسبی به کار برد و هم به صورت رتبه‌ای. برای مثال اگر شما سن آزمودنی‌های خود را به صورت عدد (برای مثال ۲۶، ۲۷، ۲۸) ثبت کرده باشید این متغیر فاصله‌ای است اما اگر به صورت طیف قرار داده باشید (برای مثال ۰ تا ۱۰ سال، ۱۰ تا ۲۰ سال، ۲۰ تا ۳۰ سال) در این صورت این متغیر رتبه‌ایی است.

ضریب همبستگی چه معنایی دارد؟

ضریب همسبتگی همیشه عددی بین ۱ تا ۱- است. ضریب همبستگی بین ۰ تا ۱ به معنی داشتن همبستگی مثبت است و هرچه این ضریب به ۱ نزدیک‌تر باشد همبستگی قوی‌تر است. همبستگی مثبت یعنی با افزایش نمره یک متغیر نمره متغیر دیگر نیز افزایش می‌یابد، مثلاً با افزایش نمره افسردگی نمره اضطراب نیز افزایش می‌یابد. ضریب همبستگی بین ۰ تا ۱- به معنی داشتن همبستگی منفی بین دو متغیر است و هرچه عدد به ۱- نزدیک‌‎تر باشد یعنی همبستگی منفی قوی‌تر است. همبستگی منفی یعنی با کاهش نمره یک متغیر نمره متغیر دیگر کاهش می‌یابد، مثلاً با افزایش افسردگی میزان شادکامی کاهش می‌یابد.

نحوه تفسیر ضریب همبستگی

در بالا گفتیم که ضریب همبستگی بین ۱ تا ۱- است. اما اعداد این ضریب چه معنایی دارند؟ برای مثال ضریب همبستگی ۰٫۴۷ نشان دهنده ارتباط قوی بین دو متغیر است یا ارتباط ضعیف؟ برای تفسیر ضریب همبستگی می‌توان از راهنمای زیر استفاده کرد که در بسیاری از کتاب‌های آماری آمده است:

– ضریب بین ۰ تا ۰٫۲۹ نشان دهنده همبستگی ضعیف

– ضریب بین ۰٫۳۰ تا ۰٫۶۹ نشان دهنده همبستگی متوسط

– ضریب بین ۰٫۷۰ تا ۱ نشان دهنده همبستگی قوی

برخی از موضوعاتی که با استفاده از تحلیل همبستگی انجام گرفته‌اند آورده شده است:

– رابطه بین سلامت روانی با نمره درسی

– رابطه بین جذابیت با اعتماد دیگران به فرد

– رابطه بین رضایت مشتریان از پاسخگویی پرسنل با میزان خرید آنان از فروشگاه

– رابطه بین عزت نفس با ابتلا به بیماری روانی در دانش آموزان

– رابطه بین ساعات استفاده از اینترنت با نمره کسب شده توسط دانشجویان

نحوه اجرای تحلیل همبستگی پیرسون در SPSS

مثال: فرض کنید که پژوهشگری قصد دارد رابطه بین نمره تحصیلی یک فرد را با میزان اعتیاد اینترنتی او به دست آورد. برای این منظور او نمرات ۲۰ نفر را ثبت می‌کنید و با استفاده از پرسشنامه اعتیاد اینترنتی، نمره اعتیاد اینترنتی این ۲۰ نفر را نیز به دست می‌آورد. در ادامه تحلیل مربوط به این مثال را خواهید دید.

در منوی بالای SPSS به این مسیر بروید:

در کادر باز شده دو متغیر خود را انتخاب و از سمت چپ به سمت راست منتقل کنید. سپس تیک گزینه Pearson را زده و سپس Ok را بزنید.

خروجی SPSS برای شما نشان داده خواهد شد.

در خروجی ظاهر شده تلاقی سطر اول با ستون دوم با سطر دوم با ستون اول نتایج شما خواهد بود. عدد اول نشان دهنده ضریب همبستگی از که عددی بین ۱ تا ۱- خواهد بود. عدد دوم نشان دهنده معناداری یا P-Value است که اگر کمتر از ۰٫۰۵ باشد نشان دهنده معنی دار بودن رابطه بین دو متغیر است. در اینجا ضریب همبستگی بین نمره افراد با میزان اعتیاد اینترنتی آنان ۰٫۷۳۷- است. این ضریب همبستگی نشان می‌هد که بین این دو متغیر رابطه همبستگی منفی وجود دارد، یعنی با افزایش اعتیاد اینترنتی نمره فرد کاهش می‌یابد. همچنین با توجه به میزان Sig یا همان معناداری، مشاهده می‌شود که رابطه این دو متغیر معنادار می‌باشد.

نحوه اجرای تحلیل همبستگی اسپیرمن در SPSS

مثال: فرض کنید که پژوهشگری قصد دارد رابطه بین میزان تحصیلات و میزان درآمد را بسنجد. برای این منظور او تحصیلات (زیردیپلم، دیپلم، دانشگاهی) و میزان درآمد (۱ تا ۲ میلیون، ۲ تا ۳ میلیون و ۳ تا ۴ میلیون) تعدادی از افراد را گردآوری می‌کند. تحلیل مربوط به این مثال در زیر آمده است.

در منوی بالای SPSS به این مسیر بروید:

در کادر باز شده دو متغیر خود را انتخاب و از سمت چپ به سمت راست منتقل کنید. سپس تیک گزینه Spearman را زده و سپس Ok را بزنید.

خروجی SPSS برای شما نشان داده خواهد شد.

در خروجی ظاهر شده تلاقی سطر اول با ستون دوم با سطر دوم با ستون اول نتایج شما خواهد بود. عدد اول نشان دهنده ضریب همبستگی از که عددی بین ۱ تا ۱- خواهد بود. عدد دوم نشان دهنده معناداری یا P-Value است که اگر کمتر از ۰٫۰۵ باشد نشان دهنده معنی دار بودن رابطه معادله ضریب همبستگی بین دو متغیر است. در اینجا ضریب همبستگی بین نمره افراد با میزان اعتیاد اینترنتی آنان ۰٫۵۵۳ است. این ضریب همبستگی نشان می‌هد که بین این دو متغیر رابطه همبستگی مثبت وجود دارد، یعنی با افزایش سطح تحصیلات، میزان درآمد نیز افزایش می‌یابد. همچنین با توجه به میزان Sig یا همان معناداری، مشاهده می‌شود که رابطه معادله ضریب همبستگی این دو متغیر معنادار می‌باشد.

ضریب همبستگی کندال

در این مقاله ضریب همبستگی کندال به صورت تئوری تشریح داده شده و برای آن به صورت دستی و نرم افزاری مثال حل می شود. کندال (M. Kendall 1907-1983) در حدود سال 1930 به مطالعه یک نوع ضریب همبستگی پرداخت که به نام او شهرت دارد. در سال 1948 رساله ای در این باره منتشر کرد که محتوی تئوری این ضریب همبستگی می باشد.در آمار، ضریب همبستگی رتبه‌ای کندال که به تای کندال مشهور است و با حرف یونانی τ نمایش داده‌ می‌شود یک آماره ی ناپارامتری است که برای سنجش همبستگی آماری میان دو متغیر تصادفی به کار می‌رود.

خواص ضریب همبستگی کندال

• از آنجایی که مخرج این کسر تعداد انتخاب‌های زوج‌ها از بین n مشاهده است، همیشه از صورت بزرگتر است. پس ضریب همبستگی کندال از 1 کوچکتر و از 1- بزرگتر است.
• اگر همه زوج‌ها با هم هماهنگ باشند مقدار ضریب همبستگی کندال برابر است با 1.
• اگر همه زوج‌ها ناهماهنگ باشند ضریب همبستگی کندال معادله ضریب همبستگی برابر است با 1-.
• اگر X و Y‌ مستقل باشند، انتظار داریم که ضریب همبستگی کندال نیز برابر با ۰ باشد.

فرمول محاسبه ضریب همبستگی کندال

[math]T=/[/math] در فرمول فوق n حجم نمونه مورد بررسی می باشد.

مقدار S از مجموع اختلاف u_i (تعداد داده هایی که بعد از داده ی مورد نظر قرار گرفته و بیشتر از آن است) و v_i (تعداد داده هایی که بعد از داده ی مورد نظر قرار گرفته و کمتر از آن است) بدست می آید :

[math]S=sum_^\n d_=sum_^\n (u_-v_)[/math]

حل مثال دستی ضریب همبستگی Kendall

در جدول زیر نمرات امتحان x و y ده دانش آموز ثبت شده است با استفاده از ضریب همبستگی کندال رابطه بین دو امتحان را محاسبه کنید :

10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	دانش آموز
5	1	6	4	10	7	2	9	3	8	نمره امتحان x
6	2	4	3	7	8	1	5	10	9	نمره امتحان y

برای بدست آوردن ضریب همبستگی کندال ابتدا نمرات امتحان x را از کوچک به بزرگ مرتب به صورت زیر مرتب می کنیم و نمرات امتحان y را متقابلا در جدول یادداشت می نماییم :

10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	دانش آموز
10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	نمره امتحان x
7	10	9	8	4	6	3	5	1	2	نمره امتحان y
0	1	1	1	0	1	0	2	0	1	vi
0	0	1	2	4	4	6	4	8	8	ui
0	1-	0	1	4	4	6	2	8	7	di

محاسبه زوج های هماهنگ و معادله ضریب همبستگی ناهماهنگ

طریقه محاسبه v_i بدین صورت است : نمره امتحان y دانش آموز اول را بررسی کرده (برابر 2 است) و به تعدادی که در نمرات سمت راستش کوچکتر از 2 مشاهده کردیم مقدار u_i مشخص می شود (در امتحان y فقط نمره دانش آموز دوم از دانش آموز اول کمتر است) پس مقدار 1 اختیار می کند. برای دانش آموز دوم نیز که نمره امتحان y آن برابر 1 است مشاهده می شود که هیچکدام از دانش آموزان بعدی نمره کمتری از او نگرفته اند، لذا مقدار v_i برای دانش آموز دوم برابر صفر می باشد.

طریقه محاسبه u_i بدین صورت است : نمره امتحان y دانش آموز اول را بررسی کرده (برابر 2 است) و به تعدادی که در نمرات سمت راستش بزرگتر از 2 مشاهده کردیم مقدار v_i مشخص می شود (در امتحان y فقط نمره دانش آموز دوم از دانش آموز اول کمتر است) پس مقدار 8 اختیار می کند (اگر بشماریم نمره y دانش آموز اول از 8 دانش آموز بعدی کمتر است). برای دانش آموز دوم نیز که نمره امتحان y آن برابر 1 است مشاهده می شود که هیچکدام از دانش آموزان بعدی نمره کمتری از او نگرفته اند، لذا مقدار v_i برای دانش آموز دوم نیز برابر 8 می باشد (فقط نمرات دانش آموزان سمت راست باقی مانده را در شمارش به حساب می آوریم). در انتها مقدار S به صورت زیر بدست می آید :

حل مثال همبستگی کندال در SPSS

ابتدا به شکل زیر داده ها را وارد نرم افزار SPSS می کنیم : برای دریافت آموزش نحوه ورود داده ها در نرم افزار SPSS اینجا کلیک کنید.

سپس از طریق دستور زیر کادر آزمون ضریب همبستگی میان دو متغیر را باز می کنیم :

مانند شکل زیر در پنجره باز شده دو متغیر مورد نظر را وارد کادر Variables کنید و تیک ضریب همبستگی تاو-کندال را فعال نمایید، در انتها بر روی گزینه OK کلیک نمایید :

خروجی نرم افزار SPSS برای ضریب همبستگی کندال (KENDALL CORRELATION COEFFICIENTS) به صورت زیر است :

همانطور که مشاهده می شود مقدار ضریب همبستگی برابر با 0.689 بدست آمده است که سطح معنی داری آن با توجه به این که کمتر از 0.05 است نشان از معنی داری این ضریب می باشد.